资料同化技术被广泛地用来结合观测场以及背景场的信息，以改进数值天气预报的初始场（董亚宁等，2018; 张涛等，2019; Lee and Huang，2020; 黄兴友等，2022）。随着研究的不断深入，很多同化理论和技术逐渐被提出并发展，如变分同化（Rabier et al.，2000）、集合卡尔曼滤波（Houtekamer and Mitchell，1998）、集合-变分混合同化（Wang et al.，2008a，2008b）等。

由于变分方法具有相对成熟稳定且计算效率高等优点，目前很多国家的数值预报中心业务系统还是采用基于变分框架的同化技术（Bannister，2017; Gustafsson et al.，2018），包括三维变分（3DVar）、四维变分（4DVar）、集合-变分混合同化（EnVar）等。在资料同化系统，尤其是在变分同化系统中，背景场误差协方差起着十分关键的作用，主要体现在以下方面（Bannister，2008a，2008b; 曹小群等，2008; 沈菲菲等，2016; 闵锦忠等，2017）:1）能够平滑观测信息，并且能实现观测信息在不同变量之间以及变量内部空间的传播; 2）能够在一些变量之间引入平衡属性; 3）一些合理设计情况下还能够包含流依赖的信息。

在实际操作中，由于真实大气状态未知，背景场误差协方差往往需要利用统计的方法来估计。其中有两种方法应用比较广泛，一种是NMC（National Meteorological Center method）方法（Parrish and Derber，1992），该方法利用一段时间内同一时刻但具有不同预报时效的两个预报场之差作为背景误差的近似。NMC方法由于采用的是一段时间（通常是一个月或者更长时间）的误差样本进行统计，其统计的背景场误差协方差通常是气候态的（王金成等，2014）。另一种是集合法（Houtekamer et al.，1996），该方法利用集合平均与集合成员来计算背景场误差协方差，通常得到的背景场误差协方差具有流依赖性。但该方法需要大量的集合成员，才能得到相对准确的背景场误差协方差。

另一方面，随着业务要求的不断提高以及同化理论的日益成熟，很多数值天气预报中心开始使用快速更新循环同化系统（RUC，Rapid Updated Cycling Forecast System; Benjamin et al.，2004; Sun et al.，2010; 陈葆徳等，2013; 童文雪等，2018），该系统通常会进行逐3 h，甚至逐小时的循环同化及预报。由于集合法计算背景场误差协方差需要大量的集合预报样本，对于快速更新循环同化系统来说会带来很高的计算代价。因此，目前大多数快速更新循环同化系统依然采用NMC方法估计背景场误差协方差，该背景场误差协方差为静态，各时刻保持不变。

事实上，随着快速更新循环同化系统同化频次的不断提高，固定不变的背景场误差协方差可能不适用于所有的同化时刻，因此希望能够更合理地统计出同化系统预报误差的日变化特征，并将其实际运用到循环同化预报中，以改进原有同化系统中固定的背景场误差协方差。针对这点，本文基于RMAPS-ST（Rapid-refresh Multi-scale Analysis and Prediction System-Short Term）系统得到的预报场样本，利用NMC方法构建了不同时刻的背景场误差协方差，即日变化背景场误差协方差，并且详细讨论了日变化背景场误差协方差的结构特征及其对同化和预报的影响，旨在为更好地利用快速更新循环同化系统提供研究参考。

1 方法

1.1 NMC方法

NMC方法利用一段时间内同一时刻但具有不同预报时效的两个预报场之差作为背景误差的近似，进而统计背景场误差协方差（Parrish and Derber，1992）。在变分同化系统中，背景场误差协方差可以通过下面表达式得到:

其中:x²⁴ 和 x¹²是预报至同一时刻但预报时效分别为24 h和12 h的两个预报场，做差之后得到预报误差样本，对于区域数值模式来说，一般是计算00时及12时（世界时，下同）两个时刻的误差样本。之后，利用一段时间内（一个月或者更长）的预报误差样本构成样本集来统计背景场误差协方差。在快速更新循环同化系统中，通常每隔3 h甚至是逐小时同化一次，因此由式（1）得到的背景场误差协方差可能不适用于所有分析时刻。

1.2 日变化背景场误差协方差

为了能够更合理地统计出快速更新循环同化系统中预报误差的日变化特征，以改进原有同化系统中固定的背景场误差协方差，本文构建了日变化背景场误差协方差:

本文使用的是一个逐3 h的快速更新循环同化系统，一天内有8个分析时刻，因此B_{diurnal（i）}，i为00、03······21，分别代表00、03······21时的背景场误差协方差，即日变化背景场误差协方差。其中，x²⁴_i和x¹²_i+12代表预报至i时刻但预报时效分别为24 h和12 h的两个预报场（当下标i+12大于等于24时减去24）。如B_{diurnal（00）}代表00时的背景场误差协方差，由00时误差样本统计得到，这些误差样本是由前一天00时起报的24 h预报场以及前一天12时起报的12 h预报场做差得到。各时刻具体的预报场样本构成如表1所示。

2 快速更新循环同化系统

本文所使用的预报场样本均来自RMAPS-ST系统（Xie et al.，2018; 何静等，2019）。该系统采用两层嵌套的方式，水平分辨率分别为9 km和3 km，垂直层数为51层，模式顶气压为50 hPa。微物理方案选用Thompson方案，长波辐射方案及短波辐射方案均采用RRTMG方案，边界层方案为YSU方案，积云对流方案为New Tiedtke方案，积云对流方案只在d01的9 km区域使用。

RMAPS-ST系统是基于WRF-ARW预报模式以及WRFDA 3DVar同化系统开发的区域快速更新多尺度观测资料同化分析及短时预报系统，其循环同化预报流程如图1所示。该系统采用欧洲中期天气预报中心（ECMWF）全球中期预报场作为模式初始和边界条件，每天启动运行8次。其中，每日00时采用热启动循环方式，即00时初始场由前一天18时冷启动的6 h预报场提供，随后7个时次背景场由前一个循环提供。同化及预报在两个区域中同时进行，同化及预报在两个区域中同时进行，其中3 km区域的侧边界来自9 km区域，冷启动初始场由再分析资料得到。同化所使用的背景场误差协方差通过公式（1）计算得到，该固定的背景场误差协方差被应用在循环同化中的各个分析时刻。同化的观测资料包括GTS（Global Telecommunication System）资料以及雷达资料。此外，模式系统选用CV_UV（Sun et al.，2016）作为控制变量，包括纬向风（U）、经向风（V）、地表气压（P_s）、温度（T）以及假相对湿度（RH_s）。

3 RMAPS-ST预报的背景场误差协方差日变化特征

NMC方法的背景误差通过同一时刻不同预报时效的预报场差异估算得到，因此本节基于RMAPS-ST系统得到的2019年夏季6月1日—8月24日以及冬季12月1日—2月23日各85个预报场误差样本来分析其误差标准差及背景场误差协方差特征。其中，统计样本来自d01与d02，出于篇幅考虑，以下分析基于d01统计结果进行。

3.1 误差样本的标准差

图2展示的是夏季预报误差样本中U、V、T、RH标准差的垂直分布，可以看出在绝大多数层上，各变量标准差最小值出现在09时，最大值出现在21时。对于U和V来说，在中低层上，夜间（12—21时）的误差标准差大于日间（00—09时）的标准差，说明RMAPS-ST系统得到的风速预报误差在白天的中低层上相对较小; 对于T和RH来说，在中层附近，夜间系统的误差标准差大于日间的标准差，且可以看出日间各个时刻误差标准差之间的差异比夜间的大，说明RMAPS-ST的系统误差在白天变化得更为明显一些。如果着眼于00时及12时，Wang et al.（2014）的研究中12时各变量在中低层的标准差也是大于00时的标准差。

图3为冬季预报误差样本中各变量标准差的垂直分布，可以看出各变量的标准差展现出与夏季类似的日变化特征，即夜间（12—21时）的误差标准差大于日间（00—09时）的标准差。同时，冬季各变量夜间与日间的标准差差异在整层上都比较明显，各层均呈现出夜间标准差大于日间标准差的分布，说明RMAPS-ST模式系统误差在冬季夜间较大。另外，可以看到夜间与日间各个时刻之间误差标准差区别较小，说明在冬季，该模式系统误差在夜间与日间变化不明显。与夏季（图2）相比，冬季各变量的标准差略小于夏季的结果，可能是冬季天气变化相对平缓，而夏季天气变化复杂且剧烈，造成模式系统冬季预报场之间的差异较夏季小。

上述结果反映了RMAPS-ST系统预报误差的日变化特征，因为RMAPS-ST系统在每天18时进行冷启动（图1），在日间（00—09时）随着模式物理过程的约束，冷启动背景场的影响越来越小，因此两个预报场之间的预报偏差减小，使得预报误差的标准差逐渐减小，最小值出现在09时; 而到12时，预报样本1是来自前一天的24 h预报，预报样本2是来自重新冷启动之后当天的12 h预报，所以12时的误差标准误迅速变大，之后随着15—21时预报的进行，分别从两天不同时刻起报的两个预报场之间差异逐渐变大，导致误差样本标准差也越来越大。

由于系统每天在滚动循环同化，因此夜间与日间误差标准差的差别有一部分原因可能是因为白天的观测资料较多，使得日间预报质量相对较好。另外，根据NMC的计算方法，日间误差样本的两个预报场是在同一天起报，而夜间计算误差样本的两个预报场在不同冷启动循环预报获得，也可能造成了夜间两个预报样本差异更大。这些原因都可能造成计算得到的预报系统夜间误差标准差大于日间。

3.2 日变化背景场误差协方差的特征

直接计算得到的背景场误差协方差矩阵是高维的，会给存储以及计算带来很大的困难，无法直接应用到变分同化系统中，因此大多数业务中心会采用控制变量转换（Control Variable Transforms; Barker et al.，2004）方法以简化背景场误差协方差矩阵。经控制变量转换后，背景场误差协方差的信息不再被直接表示，而是隐含在变量变换的回归系数、垂直变化的特征向量和特征值、水平变换的长度尺度中。

3.2.1 特征值

在WRFDA中采用EOF正交变换方法表示垂直变化，该变换过程中特征值主要表示误差模态振幅的大小。图4为夏季以及冬季B_diurnal中U、V、T以及RH_s四个控制变量前三模态的特征值分布。对于这些控制变量来说，夏季及冬季B_diurnal的特征值均表现出明显的日变化特征，即夜间（12—21时）的特征值大于日间（00—09时）的特征值，且特征值的最小值出现在09时，最大值出现在21时附近。特征值的变化说明了夜间的背景误差大于日间的结果，由于背景误差通过预报误差估计得到，因此特征值的日变化特征与预报误差样本标准差的日变化特征（图2、3）有着较好的对应关系。另外，相较于夏季结果，冬季四个控制变量的特征值普遍更小，其原因与3.1节中冬季误差标准差小于夏季类似。

3.2.2 水平长度尺度

WRFDA中水平变换采用递归滤波法，该方法中水平长度尺度表征着水平的相关关系，影响观测信息的传播范围。图5展示的是夏季以及冬季B_diurnal中四个控制变量前三模态的水平长度尺度分布，可以看到夏季和冬季B_diurnal的长度尺度也呈现出日变化特征。在夏季，U和V的最大长度尺度出现在00时且在其他时刻的变化相对平缓; T以及 RH_s的长度尺度除09时外都相对较大。各控制变量长度尺度的最小值出现在09时。在冬季，U和V的长度尺度变化相对平缓，不同时刻之间差异较小; T的长度尺度在日间差异很小，在夜间稍大; RH_s的长度尺度除09时外都相对较大。各控制变量长度尺度的最小值也出现在09时。另外，可以看出夏季水平长度尺度普遍大于冬季，这可能是由于RMAPS-ST系统预报误差的空间整体性在夏季更为一致，导致长度尺度更大。

4 个例同化及预报试验

4.1 试验设计

本节选取了2019年8月2—4日的一次降水过程，基于RMAPS-ST系统进行了连续3 d的逐3 h循环同化及预报试验，每天均冷启动一次。此次降水过程主要受高空槽、低层低涡切变线以及低空急流影响，暴雨集中在东北南部、山西大部、陕西大部、四川东部等地，局地出现大暴雨，其中四川、陕西受灾较重（周冠博和高栓柱，2019）。研究共设计了两组试验，一组为控制试验（3DVar）:每个同化时刻使用固定的背景场误差协方差; 另一组为对比试验（3DVar-Diurnal）:每个同化时刻使用对应时刻的背景场误差协方差，即日变化背景场误差协方差。

4.2 结果分析

图6展示的是2019年8月2—4日两组试验d01区域分析场不同高度层上U、V、T、Q变量的均方根误差（RMSE）时间序列，其中对比的真值为全球预报系统（Global Forecast System，GFS）0.25°×0.25°分析场。就各个变量而言，对于风场，3DVar-Diurnal试验的改进效果在三个高度层上均有所体现，且在200 hPa上的正面效果更为明显一些; 对于温度场，改进效果在三个高度层上层均比较明显; 对于湿度场，3DVar-Diurnal试验在500及850 hPa上表现出一定的正面优势，由于200 hPa基本上不包含水汽，该层上两组试验湿度的RMSE均接近0。另外，各变量RMSE评分呈现锯齿状是由于循环同化系统在每天进行冷启动。整体可以看出，3DVar-Diurnal试验中各同化时刻U、V、T、Q的RMSE均小于3DVar试验的结果，说明在同化时使用日变化背景场误差协方差能够给同化结果带来正面影响。

图7为两组试验d01区域不同高度层上U、V、T、Q变量0~24 h预报场RMSE随预报时效的变化。可以明显看出3DVar-Diurnal试验中三个高度层上U、V、T、Q变量的RMSE均小于3DVar试验的结果，也可以看出两组试验的RMSE均随着预报时效的增加而增大。具体而言，对于风场和温度场，改进效果在三个高度层上均有所体现，在200 hPa上体现得更为明显，且改进效果持续时间较长，在24 h预报场中仍有所体现; 对于湿度场，3DVar-Diurnal试验在前12 h预报中展现出正面效果，而随着预报继续进行改进效果逐渐减弱。

为研究日变化背景场误差协方差对降水预报的影响，使用地面观测站累计降水数据计算了TS（Threat Score）、ETS（Equitable Threat Score）和BS（Bias Score）评分。图8展示了d01区域连续3 d循环同化的6 h累计降水的平均评分。可以看出，在1、10及25 mm的降水阈值下，3DVar-Diurnal试验的ETS和TS评分均大于3DVar试验的结果，说明使用日变化背景场误差协方差能够对降水预报产生正面影响。同时可以发现，3DVar-Diurnal试验的BS值在绝大多数情况下更接近1，说明3DVar-Diurnal试验中降水预报准确率的提高不是以大范围虚报为代价得到的，这进一步说明了使用日变化背景场误差协方差能够提高降水的预报性能。

图9展示的是本次降水过程中两个强降水时段的24 h累计降水分布。从自动站累计降水观测（图9a）可以看出，8月3日03时—4日03时内降水主要分布在陕西北部、山西南部、河北南部等。可以看出3DVar试验（图9b）及3DVar-Diurnal试验（图9c）对降水范围均把握得较好，但是对山西南部降水均存在一定的过报，不过相较于3DVar试验，3DVar-Diurnal试验的过报现象有所改善，且3DVar-Diurnal试验对陕西北部降水及陕西与山西交界处的连续性降水描述得更为准确一些。从8月4日03时—5日03时累计降水观测（图9d）可以看出，降水大值区主要位于河北中部与山西交接处以及北京北部。不过3DVar试验（图9e）对于北京地区的强降水存在漏报现象，而3DVar-Diurnal试验（图9f）能够较好地模拟出该处降水，强降水落区整体上与观测更为接近。

5 结论与讨论

目前，多数基于变分框架的快速更新循环同化系统在各个分析时刻常使用固定的背景场误差协方差。为了更合理地统计出同化系统预报误差的日变化特征，并将其实际运用到循环同化预报中，以改进原有同化系统中固定的背景场误差协方差，本文基于RMAPS-ST系统获得的预报样本，利用NMC方法统计得到了夏季和冬季的日变化背景场误差协方差，并通过误差样本的标准差、特征统计量以及真实循环同化试验来讨论分析不同分析时刻背景场误差协方差的结构特征及其对同化和预报的影响，得到的主要结论如下:

1）夏季和冬季预报样本误差的标准差均呈现出明显的日变化特征:夜间的（12—21时）误差标准差大于日间（00—09时）的标准差。这反映了RMAPS-ST系统的预报误差在夜间更大。原因可能是因为白天的观测资料较多，使得日间预报质量相对较好; 同时由于NMC的计算方式使得夜间计算误差样本的两个预报场在不同冷启动循环预报获得，一定程度上也造成了夜间两个预报样本差异更大。

2）夏季预报样本的误差标准差及特征值大于冬季的结果，说明RMAPS-ST系统的预报误差在夏季更大，这可能是由于夏季天气相较于冬季更为剧烈和复杂，因此模式系统在夏季的预报误差更大。

3）连续3 d的循环同化试验结果初步表明采用日变化背景场误差协方差能够提高RMAPS-ST系统对于风场、温度场、湿度场的同化及预报能力，进而提高降水预报的性能。

本文基于RMAPS-ST系统获得的预报样本统计分析了夏季和冬季背景场误差协方差的日变化特征，并通过夏季的一次降水过程初步验证了将这些特征应用到循环同化预报时能够带来一定的正面效果。下一步将继续进行在不同类型个例试验以及批量试验中使用日变化背景场误差协方差的研究，并评估其对RMAPS-ST系统同化及预报表现的影响。

致谢:本文的数值计算得到了南京信息工程大学高性能计算中心的计算支持和帮助。

参考文献